反比例函数教案篇1
一、知识技能：
1.会用列表描点法画反比例函数y=k/x（k≠0）的图象；结合图象初步理解双曲线所在的象限，延伸性，对称性，及y随x的变化情况（增减性），体会其性质；
2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，并利用其性质解决实际问题.
二、过程与方法：
让学生自己尝试去画y=4/x与y=-4/x图象，在经历中逐步完善用描点法画y=k/x（k≠0）的步骤；在画图过程中引导学生去观察图象，发现其性质，并能自己归纳概括出y=k/x（k≠0）的性质，从而经历知识的归纳和探究过程，体会函数的三种表示方法相互转化，对函数进行认识上的整合。
三、情感态度价值观：
经历探究反比例函数性质的过程，渗透与他人交流，合作的意识和探究精神，培养学生探索、观察、独立思考的习惯，学会归纳总结，体会合作的喜悦，初步认识数学与人类生活的密切联系.
教学重点用反比例函数的图象与性质
教学难点结合函数的图象归纳反比例函数的性质
问题与情景
活动1
问题1：：还记得一次函数y=kx+b（k≠0）的图像
与性质吗？
那么反比例函数y=k/x（k≠0）的图象会是什么样？如何画一个函数的图像呢？――导入新课
师生行为
教师提出问题，学生独立思考
教师：上节课我们学习了反比例函数的定义，并体会了反比例函数的三种表达形式之间的联系
本节课我们来研究一下反比例函数的图像和性质.
教师关注：
1・学生能否正确使用“描点法”的方法来画图像，能否说出“描点法”的基本步骤：列表、描点、连线
2・引入课题，分析研究y=k/x（k≠0）
的图像和性质。通过画y=4/x与y=-4/x的图像展开问题。
设计意图
通过旧知识导入，引导学生用描点法画函数图像，并借助图像分析性质。体会分类讨论、特殊到一般的解决问题的方法。
活动2
1、画出y=4/x与y=-4/x的图像
1.学生在同一坐标系中做出y=4/x与y=-4/x的图像，各小组展示自己的作品。
教师引导学生交流：
1.如果在列表时所选取的数值不同，那么图像的形状是否相同？
2.连线时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？
3.曲线的发展趋势如何？
让学生自己经历画y=的图像的过程，体会描点法画图象的基本步骤，培养学生动手操作能力，这一环节让学生先在小组内展示自己的作品，相互修正。让学生体会主动参与、合作探究的乐趣。
活动3：探究y=4/x与y=-4/x的性质。
引导学生观察图像，独立思考并小组内合作交流，分析，比较y=4/x与y=-4/x的性质。在探究过程中，教师引导学生从“形”加以观察，能否从“数”加以解释，重点关注：
1.学生能否用数学语言描述图象特征，从而得出图像是双曲线。
2.学生是否能否得出k的不同取值时，图像所在的象限不同，两分支位于不同的象限。
3.学生是否注意到y随x的变化情况是在每一象限内根据k>0和k
4.为揭示函数变化规律，引导学生分别在每一象限图像上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2）观察当x2>x1时y2与y1的关系
5.不可能与轴相交，也不可能与轴相交。这一结论既可以通过观察图像得出，也可分析函数表达式得出。当x的值越来越接近于0时，绝对值y的值将逐渐变得很大；反之绝对值x的值变得非常大时，y的值将逐渐接近于0.图像的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴y轴相交.
（1）让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的
（2）体会数形结合的思想
（3）在学生探究，合作交流的过程中教师要适时的给予鼓励，时刻给他们自信。
自我点评
根据教学目标、教学重点和难点的分析，我首先引导学生回顾二次函数基本概念，用描点法画函数图象的方法，然后让学生自己经历画y=4/x与y=-4/x的图象，然后让学生小组展示作品，完善画y=4/x与y=-4/x图象。然后直观观察反比例函数的性质。分组交流讨论，教师点拨，最终归纳y=k/x（k≠0）的性质。最后进行了反馈练习，强化了知识。
探究过程中，我依托学习小组，让学生经历了从特殊到一般的探究过程，经历知识产生、形成的过程；体会了数形结合、分类讨论的思想；感受到了自己动手、主动探索、合作交流学习方式的乐趣；提升学生自己观察、分析、解决问题的能力
本节课突出学生在活动过程中的参与意识、探究方式、表达能力及合作交流的意识，突出了学生的主体地位使学生在轻松愉快的氛围中获得数学的“思想、方法、能力、素质”，同时获得对数学的情感。教师在整节课的活动中，扮演的是学生学习的参与者、合作者、指导者的角色。
不足之处是：
1.在组织小组活动中有些乱，因而给学生的时间不是太多，抑制了学生思维的拓宽，提升。
2.在引导学生主动提出问题时时机把握的不是太好。
3.学生的质疑，提出问题的质量需在平时的课堂教学中加强培养。
我的收获：
1.探究性的课堂学生很喜欢，要坚持，要不断地探索，改进，以求课堂效果更好。
反比例函数教案篇2
>> 《幂函数》的教学设计 《简单的幂函数》教学设计 幂函数教学的课案设计 幂函数教学优化设计心得 课时7 幂函数与函数的图象 浅议中职“幂函数”教学案例设计 探究幂函数的性质 论幂函数的导数 幂函数的图像与性质“五用” 浅谈“函数的单调性”的教学设计与反思 指数函数与幂函数图象的交点的探究性学习 深入解读教材中的《幂函数》 “函数的应用”教学设计及反思 第6讲 幂函数与函数图象 幂函数中论数学学习力提升 《幂函数》说课 方程的根与函数零点的教学分层设计与反思 基于分享理念的《锐角三角函数》教学探索与反思 《反比例函数的图象与性质2》教学设计与反思 指数函数教学设计、实践与反思オ 常见问题解答 当前所在位置：.
设计意图：力求通过信息技术与课程内容的整合，激发学生对学习的兴趣.通过开普勒第三定律发现所用时间与利用Excel探求所用时间的对比，体会现代技术的力量，鼓励学生把现代技术作为学习研究和探索解决问题的工具.
2. 建构数学
通过学生观察、对比，发现y=x，这是一个区别于指数、对数、二次多项式的函数，我们把这样的函数定义为幂函数.
定义：一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.
设计意图：通过与指数函数、对数函数定义的类比，得出幂函数的定义.
思考1：判断下列函数中哪些是幂函数？
.
问题1：幂函数与指数函数有什么区别与联系？（组织学生回顾指数函数的概念，明确二者的区别，得出结论）
结论：幂函数和指数函数是我们高中数学中研究的两类基本初等函数，从它们的解析式来看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数；对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数.
设计意图：通过与指数函数、对数函数对比，加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.
3. 数学运用
问题2：我们已经对幂函数的概念有了一定的认识，能否举一些幂函数的例子？
由学生举例，略.
根据前面我们学习指数函数、对数函数的经历， 我们下面应该研究它们的图象和性质.
问题3：我们应怎样研究幂函数？
例如，用Excel描点画出函数y=x3的图象（在作出x≥0部分图象后，可进一步提问）
反比例函数教案篇3
本节课内容是《反比例函数》起始课，属于一节概念新授课，教材为苏教版《数学》八年级下册第11章反比例函数第一课时。本课教材从已有的小学知识“两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例”出发，设问：成反比例的两个量之间的关系，怎么用函数表达式来描述？于是引出操作题：南京与上海相距约300km，一辆汽车从南京出发，以速度v（km/h）开往上海，全程所用时间t（h）。写出t、v的关系式，并填写下表：
随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？
教材给出了一组对应关系，从对应关系的表达式找共同特征得出反比例函数的定义。
我在设计时考虑，既不能脱离教材，又要结合实际，因此对操作题进行改编作为课题情境导入。本节课是学生在学习了一次函数以及特例正比例函数后，又一次进入函数领域对函数再认识的过程，学生的学习既区别于一次函数，又建立在一次函数的学习基础之上，因此起始课对函数概念的回顾就很有必要，在教学方法上可以采取回忆得出一次函数的过程的方法。但是用什么样的方式让学生能回忆起函数的抽象概念并能总结出反比例函数的概念，是笔者在教学设计时遇到的最大困难。很显然教师直接给出定义并不合适，这样不能让学生真正体会反比例函数的意义。我认为，本节课的重点是进行抽象反比例函数的概念的教学，进而理解反比例函数的概念，难点同样是理解反比例函数的概念。
【初稿设计】
介于上述考虑，笔者首先给出教学设计初稿。
情境导入1：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，据了解走沪宁高速平均速度为100km/h，行驶的路程s（km）随时间t（h）的变化而变化。
问题1：此题中常量是什么？变量是什么？
问题2：变量s与时间t的关系式是什么？s是t的函数。（s=100t）
问题3：回忆什么是函数？
情境导入2：在出发前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量y（升）随行驶里程x（公里）的变化而变化，y与x的函数关系式是什么？
情境导入3：从苏州到南京，汽车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化，t与v的函数关系式是什么？
结合教材实例列出4个函数关系式。
思考：上述函数表达式中哪些是已学的函数，分别是什么函数？一般式是什么？
讨论：剩下的几个函数有什么共同特征？（此处安排学生讨论，教师总结学生讨论结果）
至此，得出课题反比例函数。在得出课题后与学生一起总结反比例函数的一般式以及完整定义。（中间略）在一些概念习题后讲解了待定系数法，并做相应练习，最后总结。
针对初稿设计，我试上了一节课，通过学生表现发现这样的设计存在很大的问题。
（1）由于没有任何铺垫，在给出“情境导入1”中的一个正比例函数s=100t就让学生回答什么是函数，学生基本一无所知，一来因为函数知识的学习已经过了一个学期，间隔较长。二来函数概念本来就过于抽象，与学生学情不符，此处耗时较长。
（2）讨论问题问学生剩下几个函数有什么共同特征？问题太大，没有针对性，学生不知道从哪个方面来回答，给出的答案与教师预设相去较远，远离了本课教学目标。教师解释也很困难。
（3）习题部分过多讨论了待定系数法，题目偏难，学生做起来很困难。导致最后重点偏离，难点没有突破。
【改进后的设计】
经过了并不成功的试上课后，听取了听课教师的意见，我又仔细阅读了教材，中间听了一节本校小学部六年级的《认识反比例关系》的随堂课，深受启发。小学教师更注重对学生提问的引导，将问题分得很细，很有针对性，一节课解决的问题不多，但是基本上学生在上完一节课后能对本课的重点有一个深刻的印象。同时也发现了中小学教材在衔接上存在一些不同步，导致学生进入初中在学习函数关系的时候已经对比例关系有所淡忘。因此我在重新设计的时候有了新的想法，将小学的比例关系融合到本课的概念的抽象部分，试图通过正反比例关系来认识正反比例函数，在改进后的备课中也更好地使用了教材上的表格操作题，对教学设计作了如下的修改。
情境导入：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化。
问题1：这里有几个量？常量是什么？变量是什么？
问题2：你能用含有v的代数式表示t吗？（t=）
问题3：利用问题2中的关系式补全下表中的t（表格中给出两个t的数值是为了不让学生在计算上浪费时间）。
问题4：随着平均速度v的增加，全程所用时间t 发生了怎样的变化？
问题5：给定变量v的值，t都有唯一确定的值与它对应吗？
问题6：时间t是速度v的函数吗?为什么？
问题7：时间t是速度v的一次函数吗？
通过一个情境和一组问题，复习函数概念，区别于设计初稿中由一个关系式直接问函数概念，此处把问题细化，每个问题学生都很容易回答，设置问题串的目的主要为问题6做铺垫，在问题中感受函数定义中的三个要素：两个变量；一种变化关系；对一个变量，另一个变量有唯一确定的值与之对应。
情境引入后，紧接着再给出4个生活实例要求学生列出函数关系式，其中两题承接情境引入形成一个完整的情境设计，分别列出一个一次函数和一个一次函数特例正比例函数。另两题均为反比例函数，一题是以图表形式呈现，避免函数表现形式过于单一，一题是利用书本例子，使得函数表达式中的k出现负值，而更完整。
通过5个函数表达式的展示，请学生找出已学过的函数，并写出一般式。然后观察剩下的三个表达式，请学生先从形式上找它们的共同点并结合已学过的函数的一般式总结这些新的函数的一般式。通过展示的一次函数和正比例函数的一般式学生更容易通过对比写出新的一般式。
接着留下正比例函数和新写的函数一般式，让学生回忆小学学过的两个量之间的比例关系，说出正比例函数中两个变量成什么比例关系，并且成这样的比例关系的两个量之间什么是一定的。通过填空的形式学生更易回答。紧接着问新的函数关系的两个变量什么是一定的，成什么比例。学生很容易回答上来。这样的设计既回顾了小学比例关系，又与本课密切相关，抽象解释出概念的过程，自然又有效。
在得出概念及符号表达式后，总结注意点，并结合式子变形，得出反比例函数的另外两个表现形式。然后给出例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？
（1）y= （2）y=- （3）y=1-x（4）y=-（5）y=（6）y=（7）y=3x-1（8）y=
此题设计中预计学生会在判断（2）的比例系数k上出现问题，另外可能会在（8）的判断中忘记k≠0的要求而判断错误。因此在讲解此题的时候可以考虑由学生独立完成，学生逐一回答，并建议学生在判断是否反比例函数的时候尽量往三个表达式的不同形式上靠，在学生出现错误的时候及时纠正。
训练可以让学生对反比例函数概念的判断、对函数表达式的几种不同形式有更深刻的印象。
在（8）出现错误时可引出：
如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。随后增加学生练习：当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？
例2以教师讲解为主，板书规范书写格式。巩固练习让学生上黑板板书。之后设计4个简单的课堂反馈练习，目的是实时检测课堂效果。
在练习了较多数学题目后，重新回到生活中的数学，给出一个实例：要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此题的判断需要学生对列出的式子进行简单的变形变为反比例函数的一般形式来判断，从中希望能让学生再一次深化理解：当两个变量的乘积是一定不为零的常数时是反比例函数。）
实例后增加两个变形：1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a（m）的反比例函数么？通过反例进一步让学生学会判断一个函数是否是反比例函数。
然后可以让学生根据生活实例去编题，让同伴判断是否是反比例函数，既可以加深学生对反比例函数概念的理解，又可以在学生学到疲倦的时候再次活跃课堂气氛。
最后引导学生总结本节课所学内容，并留下课后思考题，做到将本节课的知识迁移到别的学科，注重学科之间的结合。我改进后的设计去掉了待定系数法，使得本课的目标更明确，放弃了难题的训练，更注重对于抽象概念的教学过程，舍得在抽象概念教学过程中花时间，让更多学生参与其中，避免了教师教的痕迹，设计问题更具针对性，注重启发学生思考。情境设计虽贴近生活实际，但密切联系数学问题，避免了学生回答脱离预设想法。
【课例呈现】
一、教学目标
1.理解反比例函数的概念。
2.能根据实际问题的条件确定反比例函数的表达式。
3.会判断一个给定的函数是否为反比例函数。
4.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会认识反比例函数是刻画现实世界特定数量关系的一种数学模型，进一步深化理解函数的概念。
二、教学重点难点
重点是经过抽象反比例函数概念的教学过程，理解反比例函数的概念。
难点是领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
三、教学过程
（一）创设情境，激发热情
【问题1】师：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，路上遇到一些问题，正好与本课所学内容相关，同学们愿意帮助老师一起来解决这些问题么？
生（众）：愿意。
师：那就让我们一起开始一段短暂的旅行吧。
PPT显示引例：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化。
师：这里有几个量？常量是什么？变量是什么？
生1：3个，常量是200，变量是时间t和速度v。
师：你能用含有v的代数式表示t吗？
生2：t=。
师：非常好，那么请同学顺着这位同学的回答来帮老师填写完整下表。
学生完成，生3回答。
师：随着平均速度v的增加，全程所用时间t发生了怎样的变化？
生4：速度v变大，时间t变小（小学里对反比例关系的变量间的关系表述，这里没有刻意去研究k的符号问题，仅仅让学生有一种反比的感受）。
师：给定变量v的值，变量t都有唯一确定的值与它对应吗？
生（众）：是的。
师：时间t是速度v的函数吗？为什么？（特意在上个问题的引导下去问函数的抽象定义，为了使得学生体会一一对应的关系）
生5：是的，因为t是随着v的变化而变化的，并且它们之间是一一对应的关系。（学生虽然不能完整叙述定义，但是基本能说出几个要点。）
教师展示完整答案：因为在这个变化中，有两个变量v和t，给定变量v的值，变量t都有唯一确定的值与它对应，所以t是v的函数。
（因为有一组问题的引导，生5回答的时候答出了两个变量之间满足函数关系必须要有一一对应的关系。这也是函数概念中比较抽象、学生易忘记的地方。教师在学生回答完后展示完整答案并强调注意点是有必要的，视觉的感受会比听觉更直接更深刻。）
师：时间t是速度v的一次函数吗?
生6：不是，因为不符合一次函数的表达式。
师：很好，我们的现实生活中存在许许多多的变量，而函数是刻画变量之间关系的一种有效数学模型，下面请同学帮老师再来写写生活中不同的函数关系式。（此时并没有着急提问这是什么函数？而是另外给出一系列的生活场景，让学生进一步感受函数在生活中的意义。）
【问题2】用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系。
（1）在出发之前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，写出油箱中剩余的油量Q（升）与行驶路程x（千米）的函数关系式。
（2）油每升7.6元，实际加油费用y（元）随加油量x（升）的变化而变化，写出y与x的函数关系式。
（3）把一张百元人民币兑换成零钱，如果手边有10元、5元、20元等不同面值的零钱，兑换的张数y随面额x的变化而变化，写出y与x的函数关系式。
（4）实数m与n的积为-150，写出m与n的函数关系式。
（二）合作交流，探求新知
师：t=、y=7.6x、Q=50-0.1x、y=、m=中哪些是我们学过的函数？它们是什么函数？
生7：y=7.6x、Q=50-0.1x是我们学过的一次函数。
师追问：一次函数的表达式是什么？
生7：y=kx+b（k为常数，k≠0）。
师：y=7.6x还被称作什么函数？
生7：正比例函数。
师：正比例函数的一般式是什么呢？
生7：y=kx+b（k为常数，k≠0）。
师：很好，正比例函数是一次函数y=kx+b当b=0时的特殊形式。那么请同学们观察剩下的几个函数表达式，从形式上看有什么共同特征？可以与你的同伴讨论一下。
众生讨论，教师参与。（在给出了一次函数及特殊情况正比例函数的表达式后，让学生类比一次函数先从形式上来认识反比例函数）
生8：我认为剩下的几个函数从形式上看左边都是一个变量，右边都是一个分式。并且分式的分母是一个变量，分子是常数。
师：非常好，还有同学补充么？
生9：我认为等式左边是因变量，等式右边的字母是自变量，并且自变量在分母上，所以不能取0。
师：很好，那你能模仿一次函数还有正比例函数的表达式，给具有共同特征的函数写个一般式么？
生9：我认为一般式可以写成y=。
师：非常好，那么我们看看一次函数的k有什么要求，再看看这个函数里的k有什么要求？
生9：k是常数且k≠0。
师（PPT展示，板书修改完整表达式）：很好，在大家的帮助下，我们得到了新的函数的表达式，我们再一起仔细来看一下正比例函数和这个新函数的表达式，（此时PPT擦去y=kx+b，仅留下y=kx和y=的表达式以及相关的4个函数表达式），请同学们回忆小学学过的比例关系，想想看在这两个表达式中，两个变量都成什么比例关系？
学案呈现回忆小学学过的比例关系（学生一边接受教师的提问，一边对照学案的填空，回答更有针对性）
两个量的一定，这两个量成比例。
两个量的一定，这两个量成 比例。
生10：在正比例函数中，两个变量是成正比例的。
师追问：那么成正比例关系的两个量什么是一定的？
生10：这两个量的比值是一定的。
师：太棒了，这位同学对小学知识掌握得很好。那么再请一位同学说说看，符合y=函数特征的两个变量成什么比例关系？
生11：成反比例关系。
师追问：满足什么一定关系的两个变量成反比例关系？
生11：这两个变量的乘积是一定的。
师：很好，那么如果要你们给这些函数取个名称的话可以叫什么呢？
生（众）：反比例函数（到这里本课的概念部分全部引出，基本上是学生思考、讨论、探索自主得出。）
师板书课题《11.1反比例函数》，与学生一起填写完整反比例函数概念。
新授概念：形如的函数叫做函数，其中x是量，y是x的，k是。
【阶段小结】反比例函数的定义中，有两点要注意：
①k≠0，②x≠0（两个不为零）
利用所学知识，对于y=（k≠0）可变形为下列哪些形式。
①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）
【阶段小结】y是x的反比例函数的几种等价形式:
y=（k≠0）
一般形式
（三）例题讲解，理解概念
师：我们知道了什么是反比例函数，那么同学们能从下面这些函数中找出反比例函数么？
例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？
（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2
（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=
学生练习，教师巡视。请学生逐一回答。
生12：我认为（1）中y是x的反比例函数。
师：好的，请说出比例系数k。
生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不确定k是多少。
师：（2）中的k不太好找，不如我们从反比例函数的一般式来看，我们可以把（2）写成y=-×（板书）请你接着写写一般形式。
生12：y=
师：那此时你能看出k是多少么？
生12：k=-。
师：很好，当我们不能很容易看出k时，不如把函数写成反比例函数的一般形式再来找k。
生13：（4）（7）也是，k分别是-2和3。
师：好的，请问（4）（7）分别是反比例函数的哪种表达形式？
生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。
师：非常好，还有反比例函数么？
生13：我认为（8）也是，比例系数是a。（此时出现预设的错误，并且下面学生在窃窃私语。）
师：老师好像听到有不同意见，请有不同意见的同学来说说看。
生14：我认为（8）不是，因为没有强调k≠0。
师：非常好，这位同学考虑得很细致，的确，在判断的时候一定要注意比例系数k必须不为0。
（另外对学生不太理解的（7）也作适当的讲解。）
【阶段小结】我们在判断一个函数关系式是否是反比例函数的时候，可以尽可能地往三种不同表达形式上去靠，或者通过公式变形去靠近反比例函数的一般形式，这样更容易找出k的值。
例2：如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。
教师板书解题过程：
解：由题意得：2k+5=1
k+1≠0，解得：k=-2
k≠-1，k=-2。
反比例函数的解析式是y=。
【小结】做此类题目，把所有满足的条件都用式子表示出来，解出答案代入原式，不要误将这里的k当成比例系数k。
【巩固练习】当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？（学生板书，答案正确，格式规范。）
（四）课堂反馈，实时检测
1.下列函数：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函数的有（填序号）。
2.y是x的反比例函数，比例系数k是-，则y与x的反比例函数关系式是 。
3.已知y=-3xm-7是正比例函数，则m=_______，若是反比例函数，则m=_______。
4.若函数y=（m-3）x是反比例函数，则m=。
（五）合作交流，数学应用
师：我们做了一些题目，巩固了反比例函数的概念，再来看看所学反比例函数在我们生活中的应用。
【问题】要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此处图略）
生解答：S=ah=260
ah=520
h=
因为符合反比例函数的一般形式，所以h是a的反比例函数。
师：很好，所以我们在判断两个变量是否是反比例函数时，有两种方法，一是看表达式，二是看两个变量的乘积是否是一个不为零的常数。再看看下面题目的两个变形。
1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？
2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a （m）的反比例函数么？
师：你还能举出生活中反比例函数的例子吗？与同伴交流一下。
（六）反思总结，共同提高
1.引导学生说出反比例函数概念的注意点，并注重与生活实例的结合。
2.引导学生归纳知识、掌握类比正比例函数、总结研究函数的一般方式，为接下来的函数图像学习奠定基础。
（七）课后探索，知识迁移
背景知识讲解：杠杆原理
动力×动力臂=阻力×阻力臂
如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm。设动力为y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）。
（1）求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；
（2）求当x=50时函数y的值，并说明这个值的实际意义；
（3）利用y与x的解析式说明当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请学生猜想一下。
想一想：如果动力臂缩小到原来的1/n时，动力将有怎样的变化。
【教学反思】
在整节的设计过程中，我通过多次反复磨课修改，发现整节课的难点在于对概念的生成，因为课堂教学是一个动态生成的过程，学生随时会有与施教者预定设计相背离的“意外”出现，因而整节课如何设计有效的问题很重要，施教者有必要引导学生不背离本节课的核心。问题是数学的心脏，是思维的起点，本课的设问主要从引导性问题、探究性问题、巩固性问题着手，力求遵循学生认知特点和学习规律，达成有效的学习目标。另外我认为在平时的教学中，教师不应仅仅关注本课的知识点，应该多了解、多联系学生情况，若能结合他们已有知识甚至小学的基础知识，或者更多地了解他们进入高中以后这部分知识所占的地位来备课，或许能对学生这门学科的生成性学习起到一个很好的推动作用。
本课没有在题目难度上为难学生，作为一节起始课，没有必要设置太难的题目，而是更多地让学生打开思维，用类比正比例函数的定义给出一般式的特征等方式来学习反比例函数，让学生能通过一节课学会某种数学思想和数学方法。学生经历主动探索的过程并从中收获知识是能增强他们学习数学的自信的。
反比例函数教案篇4
一、一次函数教学设计
1. 概念引入
观察1：描述图1中的变化过程，并列出y关于x的关系式.
观察2：一支蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧t小时后，剩余高度为h（cm）. 描述图2中的变化过程，并列出h关于t的关系式.
观察3：一桶水原有18. 5升，水流出速度为0.037升/秒， 接水时间为t（秒），桶内剩余水V1，杯中水的体积为V2. 描述图3中的变化过程，并分别列出V1，V2关于t的关系式.
观察4：图4是一个边长为a的正方体. 描述正方体的体积V和表面积S关于a的变化过程，并列出V和S关于a的关系式.
2. 概念的形成
通过学生对上述四个情境中变化过程的描述和对列出的关系式的观察，归纳出一次函数的概念：一般地，函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）叫作一次函数；当b=0时，一次函数y=kx+b就变成y=kx（k为常数，k≠0），叫作正比例函数.
3. 概念的辨析
（1）请完成下表
（2）填一填
已知，y关于x的函数y=（m+1）x+m2-1，当m 时，它是正比例函数. 当m 时，它是一次函数.
4. 概念的深入理解
（1）某弹簧的自然长度为4cm，在弹性限度内，挂不同质量物体时，其长度如下表：
①请写出y关于x的函数关系式；② k和b具有怎样的实际意义.
（2）请说出一个可以用y=2x+10表示的生活实例.
5. 概念的实际应用
工资、薪金所得适用税率表
（1）求出员工1和员工2应纳税所得额与应交税
（2）求出单位所有员工的应交税
6. 课堂小结
（1）
（2）本堂课思维导图
7. 作业
作业本7. 3（1）
二、一次函数优质课成功归因分析
1. 在概念的形成过程中注重“举三反一”
“举三反一”是指通过多个实例的讲解而明白其中蕴含着的不变的本质. 在概念教学中的目的是提供典型丰富的具体例证，经历分析、比较、综合、概括的过程，抽象本质属性.
“一次函数”是一个比较抽象的概念，较难理解. 在案例中执教者设置了四个具体的情境：“加油的金额随着加油量的变化而变化的情境”“蜡烛的剩余高度随着燃烧的时间而发生变化的情境”“水杯中的水和桶里剩余的水随着接水时间的变化而变化的情境”“立方体的体积和表面积随着边长的变化而变化的情境”，引导学生通过观察变化的过程，找出两个变量之间的关系如下：y=6.40x；h=-5t+20；V1=-0.037t+18.5；V2=0.037t；V=a3；S=6a2. 通过比较分析两个变量之间的这种对应的依存关系，归纳出“一次函数”的概念. 在这个“举三反一”的过程中调动了学生原有的知识经验，在经历数学知识的发生发展过程中培养了学生的观察和归纳能力，积累了数学的活动经验.
2. 在概念的应用过程中注重“举一反三”
“举一反三”是指从一件事情类推而知道其他许多事情，在概念教学中的作用是突出概念的内涵与外延，它和“举三反一”两者之间又是相辅相成的.
在“概念的辨析”环节中对于y=2（x-1），教师追问y与x-1之间是怎样的函数关系？对于y+5=-3x，是 y关于x的一次函数，教师追问：可以看成什么关于x成正比例关系？一下子提升了思维的层次，促进了学生对于一次函数概念的本质理解. 在“填一填”环节中引导学生进行题后反思. 带参数的一次函数考虑因数：系数（k，b）和次数（一次），在这个过程中培养学生思维的严密性.
在“概念的深入理解”环节中，学生借助弹簧秤这个直观易懂的实际例子，引导学生观察x的变化量Δx和y的变化量Δy之间的关系. 发现Δy随着Δx的变化而变化且k=■，k的实际意义是每千克重物拉升弹簧的长度，l表示弹簧的原长. 更一般的知道了一次函数中y随x的变化是均匀的.
在“实际应用”环节中，教师改编了课本的习题，在学生利用口算轻松解决问题1时，抛出了计算整个公司每个员工的应交税，让学生一下子觉得利用口算已经不是办法，需要利用今天学习的“一次函数”解决，在这个过程中学生感受到了学习“一次函数”的必要性和数学是有用的，同时也对学生进行了一次“纳税是每个公民应尽的义务”教育.
在概念的应用过程中，通过“举一反三”的多个环节，很好地促进了学生对“一次函数”概念的理解，学生之所以在这些环节中能非常的投入，与执教老师循序渐进的教学设计有很大关系，与“一次函数”概念形成过程中的“举三反一”也是分不开的，只有在充分理解概念的基础上才能展开对概念的应用.
三、概念教学实施的有效策略
第一，概念（特别是核心概念）教学中，要把“认识数学对象的基本套路”作为核心目标之一. 由于数学概念的高度抽象性，决定了其认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升、在已有认知基础上再概括的过程. 正如本案例中对“一次函数”概念形成中“举三反一”的过程.
第二，人类认识数学概念具有“渐进性”，因此学习像函数这样的核心概念，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、对应说、关系说等），这也是“教学要与学生认知水平相适应”的原因所在. 本案例中的“一次函数”是初中阶段接触的第一个函数，学生都还比较陌生，在表述上采用“变量说”比较通俗易懂.
第三，为了更有利于学生开展概括活动，教师要重视让学生自己举例，“一个好例子胜过一千条说教”. 案例中“请说出一个可以用y=2x+10表示的生活实例”，就起到了很好的作用.
反比例函数教案篇5
关键词 函数；矩形；探究式学习
课题：反比例函数与矩形
教学目标：
（1）通过反比例函数中矩形面积公式的探究，体验“由特殊到一般”的思想
（2）能将“特殊到一般”的思想应用于解决矩形存在性的问题
（3）通过探究进一步发展学生理性思维的能力
教学过程：
一、情境创设
（投影）在反比例函数的三种表达式中，有一种形式为xy=k（k≠0）对于此种形式，你有哪些想法呢？
设计意图：
在本节课之前学生已了解了反比例函数的三种表达方式以及反比例函数的图象和性质，设计此问题情境，旨在让学生借助已有的知识经验，思考xy=k（k≠0）与他们的已有知识的联系，但学生并不一定能阐述完全，教师可顺势提出：“xy=k（k≠0）这其中还蕴涵有很多的奥秘，本节课我将和大家一起来探究其中的奥秘”。这样既可揭示本节课探究的主题，又可激起学生的探究欲望。
二、问题探究
活动一、探究特殊的反比例函数与面积的关系
（投影）问题一：已知：反比例函数
（1）如图（1）、若点A（2，b）在此函数图象上，则过A作x、y轴的垂线，则这两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为： ；若点A为（3，b）呢？
（2）如图（2）、若点A（a，b）在此函数图象上，则过A作x、y轴的垂线，则这两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为： ；由此你能得出怎样的结论呢？
此活动主要是通过三个问题的设计让学生对特殊函数上矩形面积进行探究，在探究过程中又由特殊点开始直至到一般的点，从而让学生初步体会特殊到一般的探究过程，得出一个初步的结论：面积不变且都为8和6。
活动二、利用研究反比例函数和特殊一次函数所得到的经验，探究某一特殊矩形是否存在
（投影）问题二：在同一直角坐标系中绘制函数：y=-x+图象，并根据图象回答问题：是否存在这样一个矩形，它的周长为12，面积为4？
设计意图：
设计此问题的意图旨在让学生的探究活动能够进一步的深入，并能使学生对前面所探究的结论加以进一步的运用和综合，提高学生综合分析问题的能力。
活动三、将探究活动进一步延伸，探究任一矩形存在的可能性
问题三：你能和其他同学合作交流，探索出解决问题“是否存在矩形，它的周长为32，面积为6”的方案吗？矩形的周长为42，面积为24呢？等等。
设计意图：
设计此活动的意图旨在使学生的探究经验能得到进一步的发展，使学生分析问题，解决问题的能力得到进一步的提高，并能使我们的探究学习延伸到课堂之外。
反思：
科学的、旨在教会学生思考的数学教学不是直接把定理和法则告诉学生，让学生生吞活剥地死记定理和法则，而是启发、引导学生从一个个问题的解决中，从自身经验的归纳中，自己发现定理和法则，自己总结出定理和法则。只有这样学生对定理和法则才会有真正深刻的理解；才会无需死记硬背，就能正确掌握并熟练运用。
反比例函数教案篇6
关键词：变量与函数；概念教学；案例分析；教学反思
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）01-247-02
2015年7月22日-8月5日，由兵团教委，教研室组织的中学数学继续教育培训在石河子大学成功举行。本次活动是全疆数学教师的再教育，再深造。其中由兵团教研室杨卫平主任组织的“变量与函数”说课活动引起了大家的关注。作为普通教师的一员，笔者有幸参加了观摩活动，深受启发。下面从以下几个案例提出自己的反思：
案例一：例1、日气温变化图：图18.1.1是某日的气温变化图，根据这张图，你能否得到某个时刻的温度？
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化.每一个时间t，都有一个唯一的气温T与之对应.
例2、高尔夫球的轨迹
我们用l标识高尔夫球飞行的水平举例，用h标识高尔夫球的飞行高度.此时高度h随着水平距离l的变化而变化。
例3、水中的波纹
把一块小石头投入池塘中，就会激起一阵阵的波纹。
面积S随着半径r的变化而变化.每一个半径r都有唯一的面积S与之对应.
反思：考虑实例要尽量贴近学生的生活，此案例对课本上提供的例子作了修改，选择了"一日内的温度变化"、"高尔夫球的运动"、"水中的波纹"这样三个例子.如果后两个例子学生在生活中根本没有经验，学生理解起来会有困难。
案例二：例1、《名侦探柯南》中有这样一个情景：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高.你知道其中的道理吗？”
例2、我们班中同学A与职业相扑运动员，谁的饭量大？你能说明理由吗？
反思：此案例的设计意图是想从学生的生活入手，但现实世界中各种量之间的联系纷繁复杂，应向学生说明我们数学的研究方法是化繁就简，本节课只关注一类简单的问题.当然，这里的问题是作为研究“背景”呈现，教学时应作“虚化”处理，以突出主要内容。否则，教师不易控制课堂节奏，会在这一环节浪费大量时间，这样的引入是否有必要？
案例三：问题一：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.
1、请同学们根据题意填写下表：
t/时 1 2 3 4 5 t
s/千米
2、在以上这个过程中，变化的量是______。不变化的量是__________。
3、试用含t的式子表示s=__________，t的取值范围是 _________。
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.
问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元。怎样用含x的式子表示y ？
1、请同学们根据题意填写下表：
售出票数（张） 早场150 午场206 晚场310 x
收入y （元）
2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含x的式子表示y.__y=_________________x的取值范围是__________.
这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程.
问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为l cm，怎样用含m的式子表示l？
1、请同学们根据题意填写下表：
所挂重物（kg） 1 2 3 4 5 m
受力后的弹簧长度l（cm）
2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含m的式子表示l. l=___________m的取值范围是_____。
这个问题反映了_________随_________的变化过程.
问题四：圆的面积和它的半径之间的关系是什么？要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？30 cm2呢？怎样用含有圆面积s的式子表示圆半径r？ 关系式：________
1、请同学们根据题意填写下表：
面积s（cm2） 10 20 30 s
半径r（cm）
2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含s的式子表示r.__r=_________________s的取值范围是__________
这个问题反映了___随___的变化过程.
问题五：用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。设矩形的长为xm，面积为sm2，怎样用含有x的式子表示s呢？
1、请同学们根据题意填写下表：
长x（m） 1 2 3 4 x
面积s（m2）
2、在以上这个过程中，变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含x的式子表示s=_______________，x的取值范围是 __________。
这个问题反映了矩形的__随__的变化过程.反思：此案例引用了课本的五个实例。第三个例子，由于不少学生在理解“弹簧问题”时面临列函数关系式的困难，可能冲淡对函数概念的学习，对于繁难的概念，我们更应注重为学生构建学生所熟悉的、简单的数学现实，化繁为简、化抽象为形象.过难、过繁的背景会成为学生学习抽象新概念的拦路虎.
反比例函数教案篇7
一、直接导入法
所谓的直接导入法，就是指教师在开始上课的时候就向学生说明该堂课的学习目的、要求和内容等，将本堂课的学习任务、程序向学生交代，并点明本堂课的课题和重点.运用直接导入法，开门见山地导入，学习的重点突出，主题也比较鲜明，还能节省时间，不仅能够快速地将学生的思维定向，还易于激起学生的学习兴趣，快速地进入教学.
案例 “用单位圆中的线段表示三角函数值”
师：之前我们学习了三角函数的定义，你们还记得是怎样定义的吗？
生：是用两条线段的比值来定义三角函数的数值的.
师：是的，但是用两条线段的比值来定义有很多不方便的地方，如果我们只用一条线段来表示，就显得方便多了，这就是我们今天这堂课要学习的内容.
通过直接导入法进行课堂教学的导入，不但明确了该堂课的主题，还说明了该堂课的学习背景是在前面学习的基础上来延伸的.
二、复习导入法
复习导入法就是指所谓的“温故而知新”，通过挖掘前后知识点之间的联系来导入新课，降低学生对新知识的陌生感和恐惧感，让学生能快速地将新的知识点融入到原有的知识结构当中，降低学生对新知识点的认知难度.复习导入法的思路是通过对与新课内容有关的旧知识的复习来分析新旧知识的联系，并从该联系和新课内容的主题来进行导入设计，学生去思考，再由教师点题导入新课.
案例 “反函数”
师：前面我们已经学习了函数的基础知识，具体有哪些知识点呢？那么还记得吗？
生：记得，主要有函数的定义、函数的定义域、值域等.
师：对，但是，你们有没有注意到有这样的一种比较特殊的函数呢？若存在这样两个函数f(x)=2x-1，f′(x)=0.5x+0.5，它们之间有什么关系呢？我们先来作图看看(如图)，由图可见，这两个函数是关于直线y=x对称的，像这样的两个函数我们就说这两个函数互为反函数.那么判断一个函数是否存在反函数的条件有哪些呢？我们可以从前面学习过的函数的基础知识来总结.
生：（讨论、总结）函数的定义域和值域是一一映射的，且与反函数在相应的区间单调性是一致的.
师：（补充并开始新课的学习）
三、发现导入法
发现导入法就是通过教师的启发让学生在某些现象中发现规律，进而导入新课的方法.这种导入法可以让学生体会到发现的喜悦，还能提高学生学习的兴趣，更能帮助学生对新知识的理解和掌握.
案例 “勾股定理”
师：现在请大家把自己的两个三角板、量角器和直尺拿出来，知道今天我要你们做什么吗？生：不知道.
师：现在用你们手中的直尺测量两个三角板的三条边的长度，并记录下来.生：(测量并记录)
师：三角板的三条边的长度之间有什么关系呢？生：（讨论）
师：现在拿出你们的量角器测量两个三角板的每个角的度数，并记录下来.
如果存在这样一个RtABC，∠C为直角，BC=6，AC=8，那么AB边的长度是多少呢？同学们可以尝试计算一下，看看能不能计算出来.生：（计算）
师：（观察学生计算）我们可以按照一定的比例在纸上画出一个三角形，再根据这个比例来算出AB边的长度，算出来了吗？生：AB边的长度是10.
师：为什么呢？有人知道是什么原因吗？生：不知道.
师：要想知道这是什么原因，就要学习今天的新课：勾股定理.通过今天新课内容的学习，我相信大家一定都能够很轻松地解决这个问题.
四、情境导入法
情境导入法是从生活情境方面入手，通过对生活中常见的问题的分析来进行课堂教学的导入.运用情境导入法来进行新课的教学导入，不但能够激发学生的学习兴趣，还能够让学生产生比较强烈的求知欲，达到增强教学效果的目的.
案例 “面面垂直判定定理”
师：（播放动画）在正式上课之前我们先来看这样一个动画，在一个建筑工地上，工人在砌墙，将一根一端拴着铅锤的绳子从屋顶放下来，看绳和墙面是否一致，工人这样做的目的是什么呢？
生：（议论）保证墙和地面相垂直.
反比例函数教案篇8
1 教前研究
拿到课题以后，笔者和教研同行们从理解数学、理解学生、理解教学三个维度着重思考了以下3个问题：如何理解函数概念？为什么学生感到难学？为什么教师感到难教？围绕这3个问题展开了深入探讨，整理如下：
如何理解函数概念？浙教版教材中对函数概念的叙述是“在某一个变化过程中，对x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，称y是x的函数.”函数研究的对象是变化过程中两个变量间的依存关系，所谓“确定”、指的是自变量在某一时刻变为常量，“唯一确定”指的是因变量在自变量确定的情况下“被常量”，而且是唯一的.即通常意义下，我们说的“一对一或多对一”是函数关系，但“一对多”不是函数关系.
为什么学生感到难学？首先“函数”这个名称难于直观表达概念内涵，误认为“函数”是一个数.其次，对于八年级的学生来说，函数概念很抽象，是一个全新的学习领域，它和以往所学的描述性的数、式概念和形象的几何概念都有很大的不同，学生很难理解“唯一确定”作为函数概念内涵的必要性和合理性.再者，对于用解析法表示的函数，如y=2x，在学生眼里就是一个二元一次方程.从方程的视角看，x，y就是未知数；从函数的视角看，x，y就是变量.这种视角的转换学生较难适应.
为什么教师感到难教？浙教版教材将本课标题命名为“认识函数”，是要让学生认识函数是什么？它有哪些表现形式？本课既要让学生理解函数的概念，也要让学生认识解析法、列表法、图像法表示的函数.是先介绍函数概念，然后再和盘托出它的三种形式？还是将函数概念贯穿于函数的三种表现形式中，螺旋上升地认识函数概念？前一种教法简单易操作，但是学生理解函数容易浮于表面，后一种方法对教师的课堂驾驭能力提出很大的挑战.
在充分地研讨以后，笔者确定了本课的教学思路，进行了充分的课前准备展开教学.2 教学实况简录
2.1 情景导入，激发兴趣
上课开始，教师和学生从“中餐费”的话题开始.教学片断如下：
师：你们中午在校就餐吗？每天中餐费是多少？
生（众）：8元.
师：每个月的中餐费相同吗？
生（众）：不同.
师：是什么原因导致不同呢？
生（众）：因为每个月在校的天数不同.
师：请大家算笔帐：（屏幕显示以下问题）
问题1：9月份在校21天，每位就餐同学应交中餐费多少？10月份18天、11月份23天呢？（同学们随口报出答案）
师：同学们计算能力真强！确实，天数不同，每个月的中餐费不同！最近有个好消息，快餐公司决定餐费打9折，每餐费用多少？9月份、10月份、11月份的快餐费又是多少？
生（众）：72元！（学生开始费力地笔算）
师：（把投影切换到Excel）看来，大家算得很费劲.我这里有一个计算器（如图），我们先在“D4单元格”输入单价72，再在“C4单元格”输入就餐天数，则E4单元格就会显示相应的中餐费.
CDE
2计算器的奥秘
3x（天）单价y（元）
400
（教师输入19、18、23，屏幕立即显示相应的中餐费）
师：和你计算的结果一样吗？
生（众）：（惊异地）正确！
师：这玩意的计算速度真快！你知道它的奥秘吗？
教学评析 以学生亲身经历的“中餐费”为背景导出“现实生活中因天数改变餐费改变”的事实，以“计算器”运算奥秘为话题，既为导出解析法进行铺垫，又激发了学生强烈的探索欲望.
2.2 抽象概括，彰显本质
师：（双击E4）我们发现这里有个等式：y=D4*C4（板书），D4是什么？（教师引导观察）
生（众）：单价.（板书）
生4：C4是输入的在校天数，y是每月的中餐费.（板书）
师：在我们不断地输入──计算、再输入──再计算的过程中，哪些量是常量？哪些量是变量？
生5：单价72是常量，在校天数和中餐费都是变量.（板书）
师：什么量因什么量的变化而变化？
生6：中餐费y因在校天数的变化而变化.
师：如果我们用x表示不断变化的在校天数，你会用含x、y的字母改写上面的等式吗？
生7：y=72x.（板书）
师：我们再输入几个x值.（学生报13，17，…，教师一一输入得相应y值，）
师：由以上计算可知，当x等于一个确定的值时，y值是否确定？此时y值有几个？
生8：当x是一个确定的值时，由于单价是常量，它们的乘积也一定是常量，而且只有一个，即y值是确定的，而且是唯一的.
（以下教师再提出全班中餐费与单价72元、在校天数19天、就餐人数x的关系，类似得到y=1368x.鼓励学生在Excel中编制计算公式，并现场运行检验）
师：我们发现：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值.一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量.我们将“y=72x”这种表示函数关系的等式叫做函数解析式，简称函数式.用函数解析式表示函数的方法也叫解析法.生活中有很多变化过程，都存在着函数关系.
（以下学生举例说明，老师鼓励学生用两个变量来描述.）
（2）若i=1∶3，则tanα= .
例2：（1）如图12，AB、ED甲、乙两个斜坡，斜坡 比较陡.
（2）若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高 米.
预习反思对于正切的概念，你还有哪些困惑？写在下面.
个性超市
题组一：
1.如图13，在ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，则tanA= .
2.在RtABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，则tanB= .
3.在ABC中，AB=AC=3，BC=4，则tanC= .
4.在RtABC中，∠C=90°，tanB=13，AC=1，则BC= .
图13 图14
5.如图14，ABC是等腰直角三角形，根据图中所给数据求出tanC= .
6.如图15，菱形的两条对角线长分别是BD=16，AC=12，较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ= .
图15 图16
7.如图16，某人从山脚下的点A走了410m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为90m，求山的坡度.图17
题组二：
8.已知：如图17，斜坡AB的坡度i=34，若AC=200米，求AB、BC的长.
归纳梳理
本节课的主要知识点.
二、课堂问案
（一）问题预设
（1）是否只有直角三角形中的锐角才有三角函数？一般三角形中的角有没有三角函数？
（2）角A的大小不变，它的正切值是否变化？
（3）既然称作三角函数，谁是谁的函数？谁是自变量？谁是因变量？
（4）三角函数有没有图像？怎样画出来的？
（5）三角函数中的角怎样表示？
（二）师生互动，课堂疑问
问题问题指向问题成因
问题1：tanA中的A是一个角还是一个角度？对于正切函数中的角的含义的理解学生初次接触三角函数，对于函数的内涵和意义理解不清
问题2：在直角三角形中，角A确定，其对边与斜边的比值确定吗？对于相似概念的理解和猜想学生学习了正切函数的定义，对于与之相近的表示方法产生了自己的猜想
问题3：是否直角三角形中的锐角才有三角函数？对于概念中的核心问题――自变量的理解教材中给出的定义只是限于直角三角形中，而学生知道在一般三角形中也有锐角，他们有没有三角函数
问题4：在正切函数中，谁是谁的函数？自变量和因变量分别是谁？对于概念本质内涵的理解类比一次函数、反比例函数，学生想确认在正弦函数中的变量
………………
（三）解疑释惑
问题解疑答惑
问题1从中可以看出学生对于角及角的度数的理解还是割裂开的，角是一个表示法，其度数是一种度量方式，在此表示的意义一样，有了锐角当然其度数也就确定，两者都可以在三角函数中表示.
问题2引导学生反思勾股定理的内容，既然对边与邻边的比值确定，当然斜边与他们的比值也就确定，我们把对边与斜边的比值称为正弦函数，即sinA.
问题3结合对于角度不变正切值不变的解释，学生体会只要是角度不变，我们就可以通过构造直角三角形来求它的对边和邻边的比值，因此只要是锐角就有正切值，不一定非得在直角三角形中，单独的一个锐角也有正切函数.
问题4在引导学生初步理解概念后，引导学生思考，正切函数的结果是一个比值，这个比值是由角的大小决定的，因此角是自变量，比值基函数值是函数.
问题5……
反比例函数教案篇9
一、让学生参与知识产生、发展和应用的全过程
数学教学是数学活动的教学，所以在课堂教学中，教师决不能把现成的数学结论教给学生，而是要善于引导学、寻找规律、获得结论，重视学生的主体地位。
例如：在三角形内角和定理的教学中，有不少教师已经注意到突出定理结论发现过程的重要性，在课堂中引导学生利用剪拼的方法，归纳得出三角形内角和为180°的结论。我建议在教学中，不仅仅限于此，我们可以设计如下的教学活动过程。如图1，a∥b，它们被c所截得的同旁内角和∠1+∠2=？若a与b相交，如图2，∠1+∠2仍然等于180°吗？发生了什么变化？减少了多少？∠3跑到哪里去了？可以得到什么结论呢？这样的教学设计的目的有两个。一是充分暴露了“三角形内角和”与“平行线性质定理”的关系，二是把数形结合摆放在一个突出的位置，使其在直观中体会抽象。从而使其自主寻找规律、获得结论。
二、设计有助于促进思维的情境问题，引导学生积极参与思考
数学课程的内容抽象性比较强，在教学中，我们要善于化抽象为直观，设计的问题要让学生有东西可想，又要让学生想得出，具体地说就是教师设计的问题让大部分学生在两三分钟内就可以解决，或者通过学生间的讨论与合作一下子就可以解决，使学生在解决问题的过程中体会其中蕴涵的数学思想与方法。
例如：在圆周角定理的教学中，教材是通过由特殊到一般的程序，突出了定理的证明方法。但学生的思维仍然比较被动，在教学过程中，我设计了如下的教学情境，引导学生自己寻求知识产生的起因，探索与其它事物的联系，在探索过程中形成概念。
首先我给学生提供如下的情境问题。如图3，∠AOB为O的圆心角，∠AOB如何度量？（∠AOB的度数=弧AB的度数）然后提出问题的拓展化思考。
若∠AOB的顶点不在圆心，而是圆内任意一点P，∠APB如何度量？如图4引导学生比较图3中的∠AOB与图4中的∠APB，特别在∠AOB的两边都通过圆心，那么，O在AP边上，则∠APB如何度量？如图5，最后引导学生深化思考。当P在AO上运动时，∠APB仍然不是定值，能否考虑更特殊的情况，比如P在圆周上（直径的端点）时，不难得到∠APB= ∠AOB，如图6。若圆心O不在角的任何一边，又有什么结论呢？如图7和图8。你能否化归为已经解决的图6的问题？这样我们发现了圆周角的度量方法，给出圆周角定理。如上教学设计，揭示了圆心角、圆周角的内在联系，既突出了知识结构，又强调了化归的基本思想方法，通过这样一步步的情境深入，学生在充满挑战中不断得到思考的满足，体会到学习主人的快乐。
三、让学生真正成为学习的主人
反比例函数教案篇10
一、营造有利的教学环境
情境具有强烈的吸引力，对培养学生的数学思维及创造能力有着至关重要的作用。要形成学生主动学习、积极动脑、踊跃参与的课堂教学氛围，教师就必须深入研究教材，突出学生的主体地位，尊重学生的不同观点，鼓励学生想象、质疑甚至标新立异，给予每位学生发表自己见解的机会，最大限度地消除学生的心理障碍。
如讲到“反比例函数的图像上有点A（3，2），求k的值”时，学生通过代入计算，可以求出k的值。如果教师停留在此不再深入讲解求解的技巧，对下面的反比例函数图像中关于面积的题目的讲解起不到帮助作用。所以可以提问：如果A坐标改为（，），赛一赛谁能最快求出k的值？引导学生探索，最终得出：用去分母的办法可得xy=k，即只要是反比例函数图像上的点（x，y），都满足k=xy。
要求学生充分利用这个等式，接下来就可以出题，如：
若反比例函数的图像过点（2，5），则点（ ）也在这个反比例函数的图像上。
A.（10，-1） B.（5，2） C.（1，13） D.（2，-5）
有了上面的引入，这题无需求m的值，即可选出答案B。
二、充分揭示数学思维过程
在反比例函数图像上的点，满足xy=k，在平面直角坐标系的第一象限中可随便描几个在同一反比例函数图像上的点，如图1所示。
图1 图2
在描点的过程中，学生可以看出点A（a，b），B（s，t），ab=k，st=k，就是两个矩形的面积。如果把矩形的一条过原点的对角线连接（如图2所示），则可发现SAOD =SAOE =SBOC =SBOF=。进而让学生考虑：如果画在其他象限内的点，是否也有如上的规律？如果把这条对角线与双曲线的另一支交点也画出，那么这条直线和双曲线构成的是什么图形？这个结论对以后的解题是否有帮助？
教学中引导学生运用逻辑思维、形象思维以及直觉思维等多种思维方式，使题目中的相关信息有序化，通过学生的自主思考产生积极的效果或成果，这种创造性思维能力是正常人通过后天的思考、培养就可以具备的。
三、精选练习，紧扣重点
要培养学生的数学思维能力，教学中就必须采用开放式的教学方法，充分揭示解题的思维过程。因为学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的成果，但是学生作为学习的主体处于再发现的地位，学习活动本质上仍然具有发现和创造的性质，因此解题的思维过程比题目答案本身更应值得重视。
如图3所示，直线l和双曲线（k>0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连接OA，OB，OP，设SAOC=S1，SBOD=S2，SPOE=S3，试比较S1，S2，S3的大小： 。
解答：经过上面知识的学习，如图4所示，因为点A、B在双曲线上，所以S1=S2=。而点P不在反比例函数的图像上，所以S3≠，设PE与双曲线交点为F，连接OF，SOEF=。所以S3>，答案是S1=S2
图3 图4 图5
如图5所示，正比例函数y=x与反比例函数的图像交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D，则ABCD的面积= 。
分析：由上面的讨论，直线、双曲线都是中心对称图形，如果一条经过原点的直线和双曲线相交则还是构成中心对称图形，因此A、C两点关于原点成中心对称，即AB与CD平行且相等，则四边形ABCD为平行四边形，那么对角线AC、BD则把ABCD面积四等分。
解答：SABCD是4个AOB的面积，SAOB==，答案是4×=2。
著名德国数学家希尔伯特在哥廷根大学任教时，常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题，并立即着手解决。虽然他并非每次都能得到圆满的解答，甚至有时把自己“挂”在黑板上，但他发现的思维过程却使学生受益匪浅。我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中，也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学，并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题。这些事例充分说明了展现数学思维过程对于培养学生数学思维的重要作用。
四、激发学生的好奇心、求知欲
李政道说：“好奇心很重要，有了好奇心，才敢提出问题。”教师最重要的一项职责就在于，要把学生的好奇心引导到探求科学知识上去，使这种好奇心升华为求知欲，从而激发学生自主学习的积极性。
经过上面几道求面积的题目训练后，对于下面几题，学生们应该跃跃欲试了。
图6
如图6所示，在反比例函数（x>0）的图像上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4。分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3= 。
解答：可利用面积割补法，把S1，S2，S3放到由P1与x、y轴构成的矩形中，而由P4与x、y轴构成的矩形被四等分，得出S1+S2+S3=SAP1BO=2-0.5=1.5。
如图7所示，两个反比例函数和（其中k1>k2>0）在第一象限内的图像依次是C1和C2，设点P在C1上，PCx轴于点C，交C2于点A，PDy轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为_________。
图7
解答：构成的阴影部分面积，正好是矩形面积减去两个直角三角形面积，即k1-k2。
教学过程中，只有通过选择和安排合理的、有引导性的问题，才能不断激发学生的好奇心与求知欲。一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦，奏出一曲耐人寻味，甚至波澜起伏的大合唱。因此善问是数学教师的基本功，也是所有数学教育家十分重视并长期研究的一项课题。
五、结束语
数学教学中只有培养学生的“爱学”态度、“乐学”情绪、“会学”技巧、“自学”能力，突出“优化思维品质，培养思维能力”，开阔视野，理论联系实际，培养解决问题能力，才能使学生更适应社会发展。
参考文献
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[6] 陶国富.创造心理学[M].上海：立信会计出版社，2002.
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